深入理解特征值、主振动以及模态的相关概念

发表于 讨论求助 2020-11-30 12:29:17


分析多自由度系统的主振动特性时,传统振动教材的某些处理方式值得进一步斟酌。比如,用假设解的办法引入特征值概念,感觉比较生硬。对模态振型的理解也比较突兀和抽象。本文通过解耦方式引入特征值问题,在逻辑上比较自然。而通过快照叠放图的方式引入振型则有助于直观理解模态的意义。


对N自由度无阻尼线性系统或系统作微幅振动,最后都得到如下的振动微分方程组:

其中{x}表征各自由度位移的N ×1向量,[M][K]均为N × N的实对称矩阵,其[M]正定而[K]半正定。

1
传统处理中的问题

为了分析上述方程和理解振动物理特性,在绝大多数教科书中都是通过如下

方式引入数学特征值的概念的。即假定:


其中{X}为各自由度的振动幅度,pϕ分别为振动频率和初相位。


将式(2)代入方程(1)有:


将sin(pt+ϕ)约去可得:


或者


其中λ=p²。式(3)就是广义特征值问题。


式(2)的假设当然最终是正确的,但是从理解角度来讲,这种假定有生硬的感觉。首先解为什么要假定为简谐函数的形式?难道就没有其他形式的解吗?其次,即使假定了简谐形式,为什么各个自由度规律都是以相同的频率振动?第三,为什么振动的初相位对各自由度也相同?怎样直观地理解主振动呢?


对上述问题,教科书是避而不谈的。本文将从对方程(1)解耦角度逻辑地过渡特征值问题(3)。进一步采用了快照叠放图来实现对主振动的直观理解。

2
方程解耦

方程(1)建立后的下一步就是要求解该方程,但这组方程之间是耦合的([M]或[K]非对角)。数学上解方程通常用变量替换法来简化方程。能否通过引入新变量来将方程(1)变成不耦合形式呢?


理想的新变量与原有物理坐标之间的变换应该是可逆的,且最好是对原物理坐标的加减或者乘以常数的基本运算,也就是线性变换。线性变换的数学表现是乘以一个矩阵。为此引入如下的新向量{q}和非奇异变换矩阵[Φ]:


2.1 解耦的条件

取变换


代入式方程(1):


解耦的充要条件是:和{q}前面的系数矩阵均为对角阵。对角阵当然应为对称阵,但方程(5)不符合这个必要条件,因为[M][Φ][K][Φ]一般都不是对称阵,尽管[M]和[K]确实是对称阵。


并为了保持系数矩阵的对称,则有:


解耦的充分条件变为:

其中[M]P和[K]P均应为如下的对角阵:


如果选择的[Φ]满足了关系(7),那么可实现动力解耦,但是未必能保证关系(8)的静力耦合。另一方面,仅关系(7)也无法唯一确定[Φ]。因为[Φ]本身有N²个参数,[M]P的对角线还有N个参数,所以总计有N²+N个参数要待定;但的关系(7)最多能提供1/2N(N+1)个独立的方程,因为该式左端的矩阵对称自动减少了1/2N(N-1)个独立方程)。同样若[Φ]满足(8)关系,可实现静力解耦,未必能实现动力解耦,当然也无法唯一确定所有的待定参数。


只有关系(7)和(8)联立起来,同时满足,才能同时实现静力解耦和动力解耦。二者联合起来之后,形式上有N(N+1)个独立的方程,待定未知数则有N(N+2)不过回到关系(7)和(8),[Φ]确实不能完全确定,因为若已找到一个[Φ]同时满足了关系(7)和(8),那么对这个[Φ]乘以任意一个的对角阵之后也仍然同时满足关系(7)和(8)。如果不计这个对角阵的差异,联合关系(7)和(8)有可能唯一确定[Φ]。


2.2 解特征值问题

为此将关系(7)变为:

代入关系(8)得:


上式可变为:

由于[M]P[K]P均为对角阵,[M]P¹[K]P可合并为一个对角阵:

其中对角元素:

这样式(11)变为:


上式就是矩阵理论中的广义特征值问题。如果将矩阵[Φ]按列分开:


则式(13)就变为如下的关系:

这是更熟悉的形式。之所以叫"广义"是因为[M]的存在。如果矩阵[M]恰好为单

位阵,那就是常规特征值问题。


总之,方程(1)的解耦问题最终归结为特征值问题(13),相应的特征值方程为


一旦根据这个多项式解出特征根λ代回(13)式,便可以确定变换所需要的矩阵

[Φ]。

3
主振动

假定[Φ]已经找到,那么式(6)变为N个独立的方程:

它们都是无阻尼单自由度系统的振动方程,相应的解为:

其中


就是这系统的固有频率,而振幅A1AN和初相α1αN则与初始条件有关。


3.1 主振动与模态

根据式(4)就可以得到原问题的解:


因此原系统的振动为N个不同频率的简谐运动叠加。如果恰好只有一个Ai0,而其他的Aj=0(ji) ,那么整个系统的各自由度运动都是同一频率的简谐运动。这时系统的振动具有如下特点:


(1)系统中任意j1j2两处的振动,要么完全同步j1iφj2i符号相同)或者要么完全反相(φj1iφj2i符号相反)。xj1xj2同时通过零点,同时达到幅值最大,因此具有固定的振动模式(mode or pattern)。


(2)当φj1iφj2i符号相反时,在j1j2两点之间至少存在一个点,其振幅始终为0,也就是节点。因为它的位置固定不变,所以我们可以用肉眼观察到。


由于上述特征,若只以一个固有频率pi振动,则整个系统的运动有明显的模式,所以称之为模态振动。相应的振动模式完全由列阵{φ}i所控制,所以称{φ}i模态向量,又称振型向量。


每个模式都对应方程组(16)中的一个方程。对每个独立方程,前的系数Mi类似于单自由度情形的等效质量,所以称为模态质量或广义质量,而qi前的系数Ki相当于等效刚度,称为模态刚度或广义刚度。每个单自由度的固有频率pi称为模态频率。


对于任意自由振动,可能有多个Ai不为零,那么上述的特点(1)和(2)消失,没有固定的振动模式。但根据式(18),它们仍可以分解为模态振动的迭加,而每个模态的运动都是简单的简谐振动。由于这种分解,我们又把模态振动称为主振动(principle vibration),相应上述物理量又称为主质量、主刚度、主振动频率,以及主振型等。


3.2 示例

例1: 求图1所示张紧细绳上均匀地分布着五个相同的集中质量,绳子张力FT0在微幅振动过程中近似认为是常数。分析系统的主振动的频率和主振型。


图1 五自由度弹簧质量振系


解:采用分离体法可以建立的振动微分方程(1),质量矩阵和刚度矩阵分别为:


式中


将具体的[M]和[K]代入特征多项式(15),展开得到:


可解出五个特征根(按从大到小顺序排列)

其中p1p5就是主振动频率。将这5个特征根代入特征方程,可以解出特征向量矩阵(每个特征向量取最后一个元素数为1)

将[Φ]代入(7)和(8)可验证[Φ]确实能将质量矩阵和刚度矩阵对角化,其中的主质量和主刚度分别为

取{x}=[Φ]{q}变换解耦后的方程为:

它们的解为:

这就是系统的主振动,如图2的(a)列所示,它们都是正弦振动。由于特征值一般按升序排列,所以图示曲线的频率从上到下依次增高。


图2 五自由度的主振动


如果我们把某一时刻的细绳空间位置画出来,然后将不同时刻叠加在一起,如图2的(b)列所示。可以看到主振动有明显的模式,特别是随主振动的阶数增高,节点增多。这些节点在空间和时间上都保持不动,很容易鉴别出来。


绘制类似图 2(b)的曲线过于麻烦,而且不简洁。更常用的是将振型向量用线段象图2的(c)列那样画出来,线段旁边可标注该点振型比值, 这就是振型图。从该图很容易把握主振动形态,各处的振幅相对比值,以及节点的位置等特征。

4
自由振动

4.1 显式表达

式(17)是方程(16)的解,但是采用如下显含初条件的形式更容易处理:

下面来确定模态坐标下的初始条件。根据式(4)有

为了回避矩阵求逆运算,由(7)式可得

代入式(20)式得

因此模态坐标系下的初条件按如下方式确定

式(19)还可以写成如下的矩阵形式

其中[Q(t)]P是仿照关系(7)和(8)主矩阵定义的对角阵

将(22)式代入(23),就得到了模态坐标下的解:

利用变换{x}=[Φ]{q} ,最终得到物理坐标系下的解:


4.2 发生主振动的初条件

选择合适的初条件可发生主振动。假定需要第i个主振动qi(t)≠0,而其他的qj(t)=0,则利用{x}=[Φ]{q}有:


因此初条件为:


即初位移和初速度都应按该阶振型的比例选取。


4.3 示例

例2: 图1所示系统,设初条件为



求微幅振动的自由响应。


解:我们不直接套用(25)式,而是按其思路来计算。


根据变换

可以解出模态坐标的初条件为:

因此模态坐标解为


回到物理坐标系有:

或者合起来有

图3 例2的自由振动解


五个质点时间历程如图3(a)~(e)所示,它们看起来比较复杂,不再是简谐振动。仿照图2的(b)列,我们也可以把细绳的空间曲线描记下来,叠加在一起,如图3(f)所示。明显不同于图2的(b)列,此时的振动不再具有模式,更不具有稳定的节点。但是式(18)和(26)表明如此复杂的曲线仍然是由简单的主振动叠加而成的。正因为如此,这样求解振动方法又称振型叠加法。

5
结束语

本文介绍了用解耦方式引入特征值的逻辑过程,以及采用快照叠放图概念来加强对主振动的理解。它们将有助于对多自由度振动分析这部分内容的理解。

本文由声振论坛会员陈奎孚(VibrationMaster)原创,版权归原作者所有,转载请联系原作者授权,并注明出处(声振论坛:vibunion.com或者声振之家公众号:vibunion)。

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