11年高考之2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)

发表于 讨论求助 2019-11-10 13:26:40

2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷

一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)

1.(5分)设集合A={4579}B={34789},全集U=AB,则集合UAB)中的元素共有(  )

A3B4C5D6

2.(5分)已知=2+i,则复数z=(  )

A.﹣1+3iB13iC3+iD3i

3.(5分)不等式1的解集为(  )

A{x|0x1}∪{x|x1}B{x|0x1}C{x|1x0}D{x|x0}

4.(5分)已知双曲线=1a0b0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率为(  )

AB2CD

5.(5分)甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(  )

A150B180C300D345

6.(5分)设是单位向量,且,则的最小值为(  )

A.﹣2B2C.﹣1D1

7.(5分)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影DBC的中点,则异面直线ABCC1所成的角的余弦值为(  )

 

ABCD

8.(5分)如果函数y=3cos2x+φ)的图象关于点(0)中心对称,那么|φ|的最小值为(  )

ABCD

9.(5分)已知直线y=x+1与曲线y=lnx+a)相切,则a的值为(  )

A1B2C.﹣1D.﹣2

10.(5分)已知二面角αlβ60°,动点PQ分别在面αβ内,Pβ的距离为Qα的距离为,则PQ两点之间距离的最小值为(  )

 

A1B2CD4

11.(5分)函数fx)的定义域为R,若fx+1)与fx1)都是奇函数,则(  )

Afx)是偶函数Bfx)是奇函数Cfx=fx+2Dfx+3)是奇函数

12.(5分)已知椭圆C+y2=1的右焦点为F,右准线为l,点Al,线段AFC于点B,若=3,则||=(  )

AB2CD3

二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)

13.(5分)(xy10的展开式中,x7y3的系数与x3y7的系数之和等于

14.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=81,则a2+a5+a8=

15.(5分)直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2BAC=120°,则此球的表面积等于

16.(5分)若,则函数y=tan2xtan3x的最大值为

三、解答题(共6小题,满分70分)

17.(10分)在ABC中,内角ABC的对边长分别为abc,已知a2c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b

18.(12分)如图,四棱锥SABCD中,底面ABCD为矩形,SD底面ABCDAD=DC=SD=2,点M在侧棱SC上,ABM=60°

I)证明:M是侧棱SC的中点;

)求二面角SAMB的大小.

 

19.(12分)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲、乙各胜1局.

I)求甲获得这次比赛胜利的概率;

)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求ξ的分布列及数学期望.

20.(12分)在数列{an}中,a1=1an+1=1+an+

1)设bn=,求数列{bn}的通项公式;

2)求数列{an}的前n项和Sn

21.(12分)如图,已知抛物线Ey2=x与圆M:(x42+y2=r2r0)相交于ABCD四个点.

)求r的取值范围;

)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线ACBD的交点P的坐标.

 

22.(12分)设函数fx=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1x2,且x1[10]x2[12]

1)求bc满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(bc)的区域;

2)证明:


2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷

参考答案与试题解析

一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)

1.(5分)(2009•全国卷)设集合A={4579}B={34789},全集U=AB,则集合UAB)中的元素共有(  )

A3B4C5D6

【分析】根据交集含义取AB的公共元素写出AB,再根据补集的含义求解.

【解答】解:AB={345789}

AB={479}∴UAB={358}故选A

也可用摩根律:UAB=UAUB

故选A

2.(5分)(2009•全国卷)已知=2+i,则复数z=(  )

A.﹣1+3iB13iC3+iD3i

【分析】化简复数直接求解,利用共轭复数可求z

【解答】解:

故选B

3.(5分)(2009•全国卷)不等式1的解集为(  )

A{x|0x1}∪{x|x1}B{x|0x1}C{x|1x0}D{x|x0}

【分析】本题为绝对值不等式,去绝对值是关键,可利用绝对值意义去绝对值,也可两边平方去绝对值.

【解答】解:1

∴|x+1|<|x1|

x2+2x+1x22x+1

x0

不等式的解集为{x|x0}

故选D

4.(5分)(2009•全国卷)已知双曲线=1a0b0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率为(  )

AB2CD

【分析】先求出渐近线方程,代入抛物线方程,根据判别式等于0,找到ab的关系,从而推断出ac的关系,答案可得.

【解答】解:由题双曲线的一条渐近线方程为

代入抛物线方程整理得ax2bx+a=0

因渐近线与抛物线相切,所以b24a2=0

故选择C

5.(5分)(2009•全国卷)甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(  )

A150B180C300D345

【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法,1名女同学来自甲组和乙组两类型.

【解答】解:分两类(1)甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法;

2)乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法.故共有345种选法.

故选D

6.(5分)(2009•全国卷)设是单位向量,且,则的最小值为(  )

A.﹣2B2C.﹣1D1

【分析】由题意可得 =,故要求的式子即 ﹣(+=1 cos=1cos,再由余弦函数的值域求出它的最小值.

【解答】解: 是单位向量,=

=﹣(+=0﹣(+1=1 cos

=1cos

故选项为D

7.(5分)(2009•全国卷)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影DBC的中点,则异面直线ABCC1所成的角的余弦值为(  )

 

ABCD

【分析】首先找到异面直线ABCC1所成的角(如A1AB);而欲求其余弦值可考虑余弦定理,则只要表示出A1B的长度即可;不妨设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长为1,利用勾股定理即可求之.

【解答】解:设BC的中点为D,连接A1DADA1B,易知θ=A1AB即为异面直线ABCC1所成的角;

并设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长为1,则|AD|=|A1D|=|A1B|=

由余弦定理,得cosθ==

故选D

8.(5分)(2009•全国卷)如果函数y=3cos2x+φ)的图象关于点(0)中心对称,那么|φ|的最小值为(  )

ABCD

【分析】先根据函数y=3cos2x+φ)的图象关于点中心对称,令x=代入函数使其等于0,求出φ的值,进而可得|φ|的最小值.

【解答】解:函数y=3cos2x+φ)的图象关于点中心对称.

由此易得

故选A

9.(5分)(2009•全国卷)已知直线y=x+1与曲线y=lnx+a)相切,则a的值为(  )

A1B2C.﹣1D.﹣2

【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程;又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程.

【解答】解:设切点Px0y0),则y0=x0+1y0=lnx0+a),

x0+a=1

y0=0x0=1

a=2

故选项为B

10.(5分)(2009•全国卷)已知二面角αlβ60°,动点PQ分别在面αβ内,Pβ的距离为Qα的距离为,则PQ两点之间距离的最小值为(  )

 

A1B2CD4

【分析】分别作QAαAAClCPBβBPDlD,连CQBDACQ=PBD=60°,在三角形APQ中将PQ表示出来,再研究其最值即可.

【解答】解:如图

分别作QAαAAClCPBβBPDlD

CQBDACQ=PDB=60°

AC=PD=2

当且仅当AP=0,即点A与点P重合时取最小值.

故答案选C

 

11.(5分)(2009•全国卷)函数fx)的定义域为R,若fx+1)与fx1)都是奇函数,则(  )

Afx)是偶函数Bfx)是奇函数Cfx=fx+2Dfx+3)是奇函数

【分析】首先由奇函数性质求fx)的周期,然后利用此周期推导选择项.

【解答】解:fx+1)与fx1)都是奇函数,

函数fx)关于点(10)及点(﹣10)对称,

fx+f2x=0fx+f(﹣2x=0

故有f2x=f(﹣2x),

函数fx)是周期T=[2﹣(﹣2]=4的周期函数.

f(﹣x1+4=fx1+4),

f(﹣x+3=fx+3),

fx+3)是奇函数.

故选D

12.(5分)(2009•全国卷)已知椭圆C+y2=1的右焦点为F,右准线为l,点Al,线段AFC于点B,若=3,则||=(  )

AB2CD3

【分析】过点BBMx轴于M,设右准线lx轴的交点为N,根据椭圆的性质可知FN=1,进而根据,求出BMAN,进而可得|AF|

【解答】解:过点BBMx轴于M

并设右准线lx轴的交点为N,易知FN=1

由题意

FM=,故B点的横坐标为,纵坐标为±

BM=

AN=1

故选A

 

二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)

13.(5分)(2009•全国卷)(xy10的展开式中,x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ﹣240

【分析】首先要了解二项式定理:(a+bn=Cn0anb0+Cn1an1b1+Cn2an2b2++Cnranrbr++Cnna0bn,各项的通项公式为:Tr+1=Cnranrbr.然后根据题目已知求解即可.

【解答】解:因为(xy10的展开式中含x7y3的项为C103x103y3(﹣13=C103x7y3

x3y7的项为C107x107y7(﹣17=C107x3y7

C103=C107=120知,x7y3x3y7的系数之和为﹣240

故答案为﹣240

14.(5分)(2009•全国卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=81,则a2+a5+a8=27

【分析】s9解得a5即可.

【解答】解:

a5=9

a2+a5+a8=3a5=27

故答案是27

15.(5分)(2009•全国卷)直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2BAC=120°,则此球的表面积等于20π

【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径,设此圆圆心为O',球心为O,在RTOBO'中,求出球的半径,然后求出球的表面积.

【解答】解:在ABCAB=AC=2BAC=120°

可得

由正弦定理,可得ABC外接圆半径r=2

设此圆圆心为O',球心为O,在RTOBO'中,

易得球半径

故此球的表面积为4πR2=20π

故答案为:20π

 

16.(5分)(2009•全国卷)若,则函数y=tan2xtan3x的最大值为 ﹣8

【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式,之后转化成关于tanx的函数,将tanx看破成整体,最后转化成函数的最值问题解决.

【解答】解:令tanx=t

故填:﹣8

三、解答题(共6小题,满分70分)

17.(10分)(2009•全国卷)在ABC中,内角ABC的对边长分别为abc,已知a2c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b

【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系,再根据a2c2=2b即可得到答案.

【解答】解:法一:在ABCsinAcosC=3cosAsinC

则由正弦定理及余弦定理有:

化简并整理得:2a2c2=b2

又由已知a2c2=2b4b=b2

解得b=4b=0(舍);

法二:由余弦定理得:a2c2=b22bccosA

a2c2=2bb0

所以b=2ccosA+2sinAcosC=3cosAsinC

sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsinA+C=4cosAsinC

sinB=4cosAsinC由正弦定理得

b=4ccosA解得b=4

18.(12分)(2009•全国卷)如图,四棱锥SABCD中,底面ABCD为矩形,SD底面ABCDAD=DC=SD=2,点M在侧棱SC上,ABM=60°

I)证明:M是侧棱SC的中点;

)求二面角SAMB的大小.

 

【分析】)法一:要证明M是侧棱SC的中点,作MNSDCDN,作NEABABE,连MENB,则MNABCDMEABMN=x,则NC=EB=x,解RTMNE即可得x的值,进而得到M为侧棱SC的中点;

法二:分别以DADCDSxyz轴如图建立空间直角坐标系Dxyz,并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标,然后根据中点公式进行判断;

法三:分别以DADCDSxyz轴如图建立空间直角坐标系Dxyz,构造空间向量,然后数乘向量的方法来证明.

)我们可以以D为坐标原点,分别以DADCDSxyz轴如图建立空间直角坐标系Dxyz,我们可以利用向量法求二面角SAMB的大小.

【解答】证明:()作MNSDCDN,作NEABABE

MENB,则MNABCDMEAB

MN=x,则NC=EB=x

RTMEB中,∵∠MBE=60°

RTMNE中由ME2=NE2+MN23x2=x2+2

解得x=1,从而M为侧棱SC的中点M

)证法二:分别以DADCDSxyz轴如图建立空间直角坐标系Dxyz,则

M0ab)(a0b0),

由题得

解之个方程组得a=1b=1M011

所以M是侧棱SC的中点.

 

I)证法三:设

解得λ=1,所以M是侧棱SC的中点.

)由()得

分别是平面SAMMAB的法向量,

分别令z1=1y1=1y2=0z2=2

二面角SAMB的大小

 

19.(12分)(2009•全国卷)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲、乙各胜1局.

I)求甲获得这次比赛胜利的概率;

)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求ξ的分布列及数学期望.

【分析】1)由题意知前2局中,甲、乙各胜1局,甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局,根据各局比赛结果相互独立,根据相互独立事件的概率公式得到结果.

2)由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,由上一问可知ξ的可能取值是23,由于各局相互独立,得到变量的分布列,求出期望.

【解答】解:记Ai表示事件:第i局甲获胜,(i=345

Bi表示第j局乙获胜,j=34

1)记B表示事件:甲获得这次比赛的胜利,

2局中,甲、乙各胜1局,

甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局,

B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5

由于各局比赛结果相互独立,

PB=PA3A4+PB3A4A5+PA3B4A5

=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6

=0.648

2ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,由上一问可知ξ的可能取值是23

由于各局相互独立,得到ξ的分布列

Pξ=2=PA3A4+B3B4=0.52

Pξ=3=1Pξ=2=10.52=0.48

Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48

20.(12分)(2009•全国卷)在数列{an}中,a1=1an+1=1+an+

1)设bn=,求数列{bn}的通项公式;

2)求数列{an}的前n项和Sn

【分析】1)由已知得=+,即bn+1=bn+,由此能够推导出所求的通项公式.

2)由题设知an=2n,故Sn=2+4++2n)﹣(1+++++),设Tn=1+++++,由错位相减法能求出Tn=4.从而导出数列{an}的前n项和Sn

【解答】解:(1)由已知得b1=a1=1,且=+

bn+1=bn+,从而b2=b1+

b3=b2+

bn=bn1+n2).

于是bn=b1++++=2n2).

b1=1

故所求的通项公式为bn=2

2)由(1)知an=2n

Sn=2+4++2n)﹣(1+++++),

Tn=1+++++

Tn=+++++

得,

Tn=1+++++

==2

Tn=4

Sn=nn+1+4

21.(12分)(2009•全国卷)如图,已知抛物线Ey2=x与圆M:(x42+y2=r2r0)相交于ABCD四个点.

)求r的取值范围;

)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线ACBD的交点P的坐标.

 

【分析】1)先联立抛物线与圆的方程消去y,得到x的二次方程,根据抛物线Ey2=x与圆M:(x42+y2=r2r0)相交于ABCD四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根,可求出r的范围.

2)先设出四点ABCD的坐标再由(1)中的x二次方程得到两根之和、两根之积,表示出面积并求出其的平方值,最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标.

【解答】解:()将抛物线Ey2=x代入圆M:(x42+y2=r2r0)的方程,

消去y2,整理得x27x+16r2=01

抛物线Ey2=x与圆M:(x42+y2=r2r0)相交于ABCD四个点的充要条件是:

方程(1)有两个不相等的正根

解这个方程组得

 

II)设四个交点的坐标分别为

 

则直线ACBD的方程分别为y=xx1),y+=xx1),

解得点P的坐标为(0),

则由(I)根据韦达定理有x1+x2=7x1x2=16r2

S2=7+2t272t)下面求S2的最大值.

由三次均值有:

当且仅当7+2t=144t,即时取最大值.

经检验此时满足题意.

故所求的点P的坐标为

22.(12分)(2009•全国卷)设函数fx=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1x2,且x1[10]x2[12]

1)求bc满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(bc)的区域;

2)证明:

【分析】1)根据极值的意义可知,极值点x1x2是导函数等于零的两个根,根据根的分布建立不等关系,画出满足条件的区域即可;

2)先用消元法消去参数b,利用参数c表示出fx2)的值域,再利用参数c的范围求出fx2)的范围即可.

【解答】解:(f'x=3x2+6bx+3c,(2分)

依题意知,方程f'x=0有两个根x1x2,且x1[10]x2[12]

等价于f'(﹣10f'00f'10f'20

由此得bc满足的约束条件为4分)

满足这些条件的点(bc)的区域为图中阴影部分.(6分)

 

)由题设知f'x2=3x22+6bx2+3c=0

.(8分)

由于x2[12],而由()知c0

又由()知﹣2c0,(10分)

所以

 


发表