数学女孩3 [1.1] 谁是老实人 | 新书试读

发表于 讨论求助 2020-04-30 03:59:26

读过《数学女孩1》和《数学女孩2》的读者一定是赞不绝口。可以说《数学女孩》系列是我读过的最好读的数学科普书了,作者以小说的形式展开,虚构了“我”、米尔嘉、泰朵拉等人物,通过人物的对话,用浅显易懂的语言将一个个数学公式、解题思路娓娓道来,自然而然,没有一点违和感。读她,仿佛与数学谈了一段青春、浪漫的恋爱。


《数学女孩》系列的第三部《数学女孩3:哥德尔不完备定理》终于在2017年的最后一个月印刷出来的。接下来我们将摘录第一章的内容分三篇在好玩的数学公众号中发布,想看原著的朋友可以点击文末的小程序卡片购买。



第1章 镜子的独白



《数学女孩3》精彩书摘

已获图灵授权转载


“镜子呀镜子,在这世上谁最美?”


“女王陛下,在这世上您最美。”


女王很满意这个回答,因为这面镜子从不说谎。


—《白雪公主》



1.1 谁是老实人


1.1.1 镜子呀镜子


“哥哥,你知道《白雪公主》的故事吧?”尤里说。


“当然了,那个寻找掉了水晶鞋的公主的故事。”我答道。


“那是《灰姑娘》!哪是《白雪公主》啊!哼,真是的……”


“是吗?”我装傻。


“别装傻嘛~”尤里说完就笑了。


这里是我的房间,现在正值一月。新年假期马上就要结束了,开学以后还有个摸底考试。可是不知为何,房间里的气氛却很是悠闲。


尤里上初二,我上高二,她管我叫“哥哥”。不过,尤里不是我的亲妹妹。


她的妈妈和我的妈妈是姐妹。换句话说,她是我的表妹。尤里从小就管


我叫“哥哥”,现在也还这么叫我。


我的房间里有很多尤里喜欢的书。她住在我家附近,一放假就会过来玩。


我学习的时候,尤里就在一旁悠然自得地看书。


尤里开了口:


“白雪公主的那个坏妈妈,是不是只要一对着镜子,就会这么问:镜子呀镜子,在这世上谁最美?”


“嗯,那个镜子就相当于‘美人测定仪’吧。”我回答。


“她是认为自己漂亮才那么问的吧。可是人家一照镜子就忍不住叹气,


头发颜色这样,还分叉得厉害。”


尤里说着,开始拨弄她栗色的马尾辫。


我重新审视尤里。尤里觉得自己很差,但我却不那么觉得。她的表情总是千变万化,让人移不开眼,给人一种看到爆米花正在迸裂时的感觉。


她的脑子也转得快,跟她说话从没感到无聊过。


“啊— 好想染头发啊— 好想变漂亮啊—”


“没有没有,尤里。”我说。


尤里停下正在拨弄发梢的手,看向我。


“什么‘没有没有’啊?”


“就是说…… 尤里你这样也…… 嗯,足够……”


“足够?”


“就是说……”


“孩子们!吃百吉饼吗?”我妈在厨房喊道。


“吃—!”


她大声回答道,刚刚还一本正经的表情忽然来了个大逆转。


尤里站起身就来拽我。她穿着牛仔裤,身材非常纤细,没想到却这么有力气。


“快点儿啦,哥哥,我们赶紧去吃点心!”



1.1.2 谁是老实人


用餐。


“这本书有意思吗?”


尤里哗啦哗啦地翻着茶几上放着的数学谜题集。


“不知道,我还没看。放假前跟学校借的。”


“诶?高中图书室里还有这种书呐…… 哥哥,这道题你会吗?它问‘A1A5 这5 个人里谁是老实人’。”


谁是老实人?


A1:“这里有1 个人在说谎。”


A2:“这里有2 个人在说谎。”


A3:“这里有3 个人在说谎。”


A4:“这里有4 个人在说谎。”


A5:“这里有5 个人在说谎。”


“来,选你们喜欢的口味。”我妈端着盛有百吉饼的盘子过来了,“这边是原味的,这边是核桃味的,这边是罗勒味的。”


“这个是什么味的?”尤里问道。


“那个是洋葱味的。”


“那我要吃这个。”


“你要吃哪个?”我妈把盘子递向我这边。热气散发了出来,闻起来很是香甜。


“哪个都行。— 我说尤里,这个问题……”


“不行!好好选!”我妈边说边把盘子推到了我面前。


 “那我要原味的。”


“我推荐你吃核桃味的。”


“呃…… 那就核桃味的吧。”


我拿了核桃味的百吉饼后,我妈就心满意足地回了厨房。— 这不还是她帮我选的么。


“尤里,刚才你那个问题,是‘老实人总是在说真话’的那个么?”


“对对,骗子总是在说谎。A1A5 这些人不是老实人就是骗子。”


“那就简单了。A4 是老实人,其他4 个人是骗子。”


“嘁,真没意思喵…… 哥哥你一下子就明白了。”


我这个表妹有时候会在话里掺上猫语。没办法,毕竟是个小孩子……


“这个问题,如果用老实人的人数来分情况讨论,马上就能得出答案。”我说,“老实人可能有0~5 个人。首先,老实人不可能是0 个人,也就是说不可能5 个人都是骗子。因为A5 说了‘这里有5 个人在说谎’,也就是说,如果A5 说的是真的,那么A5 就是老实人。但是这样一来,A5所说的‘有5 个人在说谎’就不成立了,这样于理不合。”


“嗯,嗯。”尤里附和道。


“下面考虑有1 个老实人,也就是有4 个骗子的情况。这种情况下,因为只有A4 说的是对的,所以只有A4 是老实人,剩下的4 个人都是骗子。这样就合乎情理了。”


“确实呢。”尤里看上去很高兴。


“下面考虑有2 个老实人,也就是有3 个骗子的情况。这种情况下,只有A3 说的是对的,但是从A3的话推断应该‘有3 个人在说谎’,而事实却是‘有4 个人在说谎’,这样说不通。有3 个、4 个、5 个老实人的情况也同样不合乎情理。最后,就只有‘A4 是老实人’这一种情况成立—真有意思啊。”


“哪里有意思?”


“这里没有把人名设成A, B, C, D, E ,而是设成了A1, A2, A3, A4,A5这样的编号。”


“喔……”


“我来出个一般化A 的问题。比如,下面这个你明白吗?”我问道。


谁是老实人?(一般化)


B1:“这里有1 个人在说谎。”


B2:“这里有2 个人在说谎。”


B3:“这里有3 个人在说谎。”


B4:“这里有4 个人在说谎。”


B5:“这里有5 个人在说谎。”


……


Bn-1:“这里有(n − 1)个人在说谎。”


Bn:“这里有n 个人在说谎。”


“这个n 是什么?”尤里边嚼着百吉饼边问。


“嗯,这个问题问得好。字母n 是某个自然数。”


“人家不明白呢。就给出了n…… 难不成要从无限个人里找?”


“不是无限的哦。因为已经给出了n 这个数,所以只有B1, B2, . . . ,Bn 这n 个人,人数不可能是无限的。”


“这样啊,原来不是无限的呀。”


“可以用跟刚才5 个人时一样的思路来思考这个问题。”


“嗯?啊!我知道了,Bn-1 是老实人。”


“没错,你很聪明嘛!”


   A 一般化是数学中带有普遍性的一种思想方法,指的是从考虑一个对象或较少对象的

集合过渡到考虑包含已给对象的更大集合的一种思想方法。—译者注


“哦呵呵,很简单啊。因为老实人是1 个,所以骗子就是(n − 1)个嘛。”尤里俏皮地说。


“这里用n 这个字母把问题一般化了,也就是‘通过导入字母把问题一般化’,明白吗?”


“就是说n 是几都无所谓?”


“对,n 只要是1, 2, 3, . . . 这些自然数中的任意一个就行。”


“唔,这不对劲,很奇怪啊。”尤里说,“当n = 1 的时候,就没有老实人了!”


谁是老实人?(当n= 1 时)


C1:“这里有1 个人在说谎。”


“嗯?这种情况下答案就是‘没有老实人’啊。”我回答道。


“诶?太奇怪了!那么C1 是老实人?还是说他是骗子?”


“是骗子吧。”


“那样的话,就有1 个骗子啊,骗子就是C1 本人。这样一来骗子就说了真话啦!”


“啊,是啊。但是C1 也不是老实人,明明只有他自己,他还说‘这里有1 个人在说谎’,这样的话,C1 这个老实人就把自己整成了骗子……嗯,这样问题就不成立了呢。”


“问题…… 不成立?”


“嗯,不成立。因为‘不是老实人就是骗子’这个前提条件很奇怪。所以当n = 1 时,这个问题就不成立了。”


“就是说,没法判断C1 属于哪一方?”


“嗯,我们没法判断C1 是老实人还是骗子。话说回来,尤里你脑子转得真快啊。”


“喵哈哈,可是判断不了,感觉好讨厌啊。人家想‘咻’地一下把问题解开喵。”


“确实很讨厌啊。”


“我知道了,是‘出题人’在说谎!”


“这都哪儿跟哪儿呀……”



1.1.3 相同的回答


我想了一个新的谜题。


“尤里,你觉得这种谜题怎么样?”


使答案相同的问题是?


请想出这样的问题:假设回答的人不是老实人就是骗子,而且不管是老实人还是骗子,答案都是相同的。但是,回答的人只能用“是”或“否”来作答。


“不明白什么意思。‘答案都是相同的’是什么意思?”


“意思是,老实人的答案和骗子的答案相同。如果老实人回答‘是’,那么骗子也要回答‘是’。如果老实人回答‘否’,那么骗子也要回答‘否’…… 就是这种问题。”


“有这种问题吗?”


尤里一脸认真,开始思考。我喜欢她思考的神情,虽说她也有时候会直接放弃,表示“不知道”……


“如何?尤里,明白没?”


“很简单啊,这么问就好了:你是不是老实人?”


“对对,很棒很棒。”


“如果是老实人,那他就会老实回答‘是’;如果是骗子,那他就会说谎,回答‘是’。不管是老实人还是骗子,都会回答‘是’。”


“没错。老实人的‘是’是真话,骗子的‘是’是假话。像我这么问也可以:你是不是骗子?”


“嗯,这次老实人和骗子都会回答‘不是’了呢。”


“久等了。”我妈又拿来了饮料,“来,喝杯可可吧。”


“唔…… 我喜欢咖啡。”我说,“不过可可也行。”


“我喜欢阿姨冲的可可。”尤里说。


“尤里真乖。”我妈夸道。


“话说,哥哥,‘老实人和骗子’这个角色设定很了不起啊。因为老实人只说真话,只要开口就说的是真话。太厉害了。”


“是啊。尤里,骗子和老实人拥有一样的能力,这你明白吗?”


“诶?什么意思?”尤里看着我。


“骗子一定会说谎话,对吧?这样的话,骗子想当老实人,就必须在一定程度上了解真相,要不然就可能会一不小心把真相说了出来。”


“噢,确实!要是‘一不小心把真相说了出来’就有意思了喵。”


“就算一不小心犯错了,也不能骗人哦,你们俩。”我妈说道。



1.1.4 回答是沉默


“啊,人家也想到了一个新的谜题。刚才我们想的是老实人和骗子要作相同回答的问题,对吧?那么下面这个问题…… 当然,这个问题也只能用‘是’或‘否’来回答哦。”


让人无法回答的问题是?


什么问题骗子能够回答,但老实人无法回答?


“嗯,这样的啊……”我一边说一边思考着。“提一个不知道答案的问题就行了吧,比如说—‘孪生质数是不是无限多’?”


“孪生质数是什么?”


“差为2 的两个质数构成的组合,例如3 和5,5 和7,等等。关于是不是有无限多,还没人知道。”


“这话有点不对吧。关于‘孪生质数是不是无限多’,只是现在还没人知道而已,说不定什么时候就会有人知道的。而且,遇到‘孪生质数是不是无限多’这种问题,就连骗子也会沉默吧。不知道真相的话,骗子就没法撒谎了呀。”


“确实如此。”


“哥哥,人家想了个这样的问题:这个问题,你会回答‘否’吗?”


“有意思!尤里,这个很有意思!由老实人回答时…… 如果答了‘是’,那么因为他没有答‘否’,所以就说明他在撒谎;如果答了‘否’,那么因为他答了‘否’,所以他还在撒谎。好绕啊。老实人不会说谎,所以不能回答‘是’,也不能回答‘否’……”


“对吧。骗子只要回答‘是’就好了,因为这个‘是’是谎话,所以没有关系。”


“骗子回答‘否’也没有关系啊,因为这个‘否’也是谎话。”


“好绕啊……”尤里笑了。


“确实。”我也笑了。看来老实人只能用“沉默”来回答了。



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